有趣的数学

关于本文

　业余玩家的一些学习笔记（哈哈~ 浪起来吧~~~）

级数

格兰迪级数

　格兰迪级数（Grandi´s series），即 $1 − 1 + 1 − 1 + \cdots $，记做 $\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n}$。这是一种发散级数。在 1703 年由意大利数学家格兰迪发表，后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为 $\frac{1}2$

　比较简单的一种证法如下（下文 $p$ 进数中也有一段印证）：

$S = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$
$1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + \cdots) = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots) = S$
$2S = 1$
$S = \frac{1}2$

数论

p 进数

$$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}2 + \frac{1}4 + \frac{1}8 + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots = 1$$

　可以想象成，一个从 $0$ 不断往 $1$ 逼近的点，每次只移动剩余路程的一半，最后，该点是无限趋近于 $1$ 的
　如果将 $\frac{1}2$ 推广为 $p$（$0 \leq p < 1$），也就是每次移动后，剩余路程为 $p$，记做

$$(1-p) + p(1-p) + p^2(1-p) + \cdots + p^n(1-p) + \cdots = 1$$
$$1 + p + p^2 + \cdots + p^n + \cdots = \frac{1}{1-p}$$

　如果将 $p = -1$ 代入到等式中，那么可以得到 $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}2$；如果将 $p=2$ 代入等式中，那么可以得到 $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^n + \cdots = -1$。不过上述等式成立的前提是 $0 \leq p < 1$，虽然等式右边将任意不等于 $1$ 的 $p$ 代入，都是有意义的，但是其实是不严谨的

　这时候，就需要定义新的数域，同时也需要保证平移不变性，即 $dist(a, b)$ = $dist(a + x, b + x)$，还有三角形不等式，即 $dist(A, B) + dist(B, C) > dist(A, C)$。由此，我们可以设计出 $2$ 进数，实数集不是放在一条直线上，而是放在一层层嵌套的盒子里，排列顺序为 $[0, \cdots, 2^n, \cdots, 2^3, 2^2, 2, 1]$，切分小盒子的时候，保证 $0$ 和所有大于 $1$ 的 $2^n$ 在同一个盒子，$[[[[0, \cdots, 2^n, \cdots, 2^3], 2^2], 2], 1]$，再次依据平移不变形将其他数字填入对应的盒子 $[[0, \cdots, 2^n, \cdots, 2^3, 2^2, 12],$ $[2, 10, 6, 14]],$ $[[1, 9, 5, 13],$ $[3, 11, 7, 15]]$。由此可以看出，$dist(-1, 2^n-1)$ = $dist(0, 2^n)$，而 $2^n$ 是逼近于 $0$ 的，所有 $2^n - 1$ 也是无限逼近于 $-1$ 的。这些数之间的距离，则定义为每个同层的不同盒子里面数，距离为 $\frac{1}{2^n} \, (n\geq0)$，这就是数论里面的 $p$ 进数的一种（其中 $p$ 为素数）

厚积薄发