有趣的数学

关于本文

 业务玩家的一些学习笔记(哈哈~ 浪起来吧~~~)

级数

格兰迪级数

 格兰迪级数(Grandi’s series),即 $1 − 1 + 1 − 1 + \cdots $,记做 $\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n}$。这是一种发散级数。在 1703 年由意大利数学家格兰迪发表,后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数的欧拉和切萨罗和均为 $\frac{1}2$

 比较简单的一种证法如下(下文 $p$ 进数中也有一段印证):

$S = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$
$1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + \cdots) = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots) = S$
$2S = 1$
$S = \frac{1}2$

数论

p 进数

$$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}2 + \frac{1}4 + \frac{1}8 + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots = 1$$

 可以想象成,一个从 $0$ 不断往 $1$ 逼近的点,每次只移动剩余路程的一半,最后,该点是无限趋近于 $1$ 的
 如果将 $\frac{1}2$ 推广为 $p$($0 \leq p < 1$),也就是每次移动后,剩余路程为 $p$,记做

$$(1-p) + p(1-p) + p^2(1-p) + \cdots + p^n(1-p) + \cdots = 1$$
$$1 + p + p^2 + \cdots + p^n + \cdots = \frac{1}{1-p}$$

 如果将 $p = -1​$ 代入到等式中,那么可以得到 $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}2​$;如果将 $p=2​$ 代入等式中,那么可以得到 $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^n + \cdots = -1​$。不过上述等式成立的前提是 $0 \leq p < 1​$,虽然等式右边将任意不等于 $1​$ 的 $p​$ 代入,都是有意义的,但是其实是不严谨的

 这时候,就需要定义新的数域,同时也需要保证平移不变性,即 $dist(a, b)$ = $dist(a + x, b + x)$,还有三角形不等式,即 $dist(A, B) + dist(B, C) > dist(A, C)$。由此,我们可以设计出 $2$ 进数,实数集不是放在一条直线上,而是放在一层层嵌套的盒子里,排列顺序为 $[0, \cdots, 2^n, \cdots, 2^3, 2^2, 2, 1]$,切分小盒子的时候,保证 $0$ 和所有大于 $1$ 的 $2^n$ 在同一个盒子,$[[[[0, \cdots, 2^n, \cdots, 2^3], 2^2], 2], 1]$,再次依据平移不变形将其他数字填入对应的盒子 $[[0, \cdots, 2^n, \cdots, 2^3, 2^2, 12],$ $[2, 10, 6, 14]],$ $[[1, 9, 5, 13],$ $[3, 11, 7, 15]]$。由此可以看出,$dist(-1, 2^n-1)$ = $dist(0, 2^n)$,而 $2^n$ 是逼近于 $0$ 的,所有 $2^n - 1$ 也是无限逼近于 $-1$ 的。这些数之间的距离,则定义为每个同层的不同盒子里面数,距离为 $\frac{1}{2^n} \, (n\geq0)$,这就是数论里面的 $p$ 进数的一种(其中 $p$ 为素数)

更多资源,欢迎加入,一起交流学习

QQ group: (人工智能 1020982 (高级) & 1217710 (进阶) | BigData 1670647)